El professor a Madrid
Entre 1923 i 1926 treballà simultàniament en l’ensenyament secundari i l’universitari, compaginant la responsabilitat de professor auxiliar de Geometría descriptiva i Geometría superior a la Facultad de Ciencias de Madrid amb l’ensenyament d’Análisis matemático y cálculo infinitesimal al Instituto Católico de Artes y Industria. L’any 1926 obtingué la càtedra de matemàtiques del Instituto San Isidro de Madrid, càtedra que va ocupar fins a la seva mort. Mentrestant, continuà els estudis d’enginyer industrial a la Escuela de Ingenieros Industriales de Madrid, centre en el que més endavant fou professor i on encara es manté l’Aula Puig Adam, i treballà a la Escuela Superior de Aerotecnia, on va impartir Cálculo i Ecuaciones diferenciales. També va ser professor encarregat de l’assignatura Metodología matemática a la Facultad de Ciencias de la Universidad Central.
Entre 1926 i la Guerra Civil, Puig Adam desplegà una intensa i diversa tasca docent i això li permeté conèixer en profunditat tots els nivells del sistema educatiu espanyol, al mateix temps que li proporcionà una estabilitat econòmica impossible d’aconseguir amb una sola dedicació laboral. Cal sumar-hi el fet que continuà sent alumne a l’Escola d’Enginyers fins l’any 1932, moment en què finalment es titulà.
La dedicació a l’ensenyament de la matemàtica i les seves facultats didàctiques el portaren, a partir de 1928 i fins la seva mort, a elaborar textos per al batxillerat, sobretot en col·laboració amb Julio Rey Pastor, amb la voluntat de contribuir a la renovació de l’ensenyament de les matemàtiques. En aquest aspecte, Puig Adam era admirador de l’obra de l’Institut-Escola de la Generalitat de Catalunya, fundat a Barcelona per Josep Estalella, amb qui Puig mantenia contactes. Cada estiu, viatjava a Catalunya per poder anar al final de les colònies escolars de l’Institut-Escola, a les que dedicà una de les seves composicions musicals, anomenada Sota les alzines.
Fou autor d’un considerable nombre d’obres didàctiques de matemàtica elemental i superior (entre les que destaca el Curso de geometría métrica), de nombrosos treballs d’investigació de matemàtica pura i aplicada i de múltiples articles de divulgació científica.
La Guerra Civil i la breu estada a Barcelona
L’any 1936 fou l’inici d’una diàspora matemàtica —entre altres especialitats— que portà diversos especialistes fora d’Espanya, entre ells alguns companys estimats de Puig, amb qui passà a mantenir una llarga correspondència. L’any 1937, Puig Adam retornà a Barcelona, on compatibilitzà l’exercici de professor de matemàtiques a l’Institut-Escola, del que també era secretari, amb la docència a l’Escola d’Enginyers Industrials.
Al mig de la Guerra Civil espanyola, va morir Josep Estalella, l’admirat artífex de l’Institut-Escola, i Puig Adam assumí la direcció del centre amb la intenció de salvar la seva obra pedagògica, al càrrec de la qual romangué uns mesos. Tot i així, només aconseguí disminuir els efectes de la repressió sobre professors i alumnes, cosa que el desil·lusionà i el portà a retornar a Madrid per reincorporar-se a la docència en aquesta ciutat.
El retorn a Madrid
Un altre cop a Madrid, Puig retornà a la docència a l’Instituto San Isidro i a l’Escuela Especial de Ingenieros Industriales de Madrid, on continuà de professor auxiliar fins l’any 1946, quan passà a ser catedràtic. Amb motiu de la inauguració del curs 1940-41 de la Escuela Especial de Ingenieros Industriales de Madrid, llegí el discurs inaugural titulat Apología de la Inutilidad, en el que de manera seriosa i sarcàstica comentava la dualitat entre les matemàtiques “útils” (les del matemàtic) i les “inútils” (les de l’enginyer). L’any 1945, llegí el discurs de comiat dels alumnes del Instituto San Isidro que havien acabat el batxillerat, amb el títol En la encrucijada. Consejos de un guía, en el que incitava l’alumnat a ser curiós, a aprendre i a treballar constantment amb una de les seves màximes personals: «Descansar és treballar en una altra cosa». Aquesta activitat de conferenciant aviat es va fer més intensa, ja que cada vegada era convidat amb més freqüència a intervenir en cursos, seminaris i jornades.
L’any 1947, publicà la primera edició de l’obra Curso teórico-práctico de cálculo integral i la del Curso teórico-práctico de ecuaciones diferenciales, ambdues amb el subtítol Aplicados a la física y a la técnica, obres molt usades a les escoles tècniques fins entrats els anys setanta.